動態規劃算法（fǎ）的核心（xīn）就是記（jì）住已（yǐ）經（jīng）解決過的子問題的解記（jì）住求解的（de）方式有兩種：①自頂向下的備忘錄法②自底向上動態規劃的經典模型線性模型線（xiàn）性模型的是動態規劃中最常（cháng）用的模型，上文（wén）講到的鋼條切割問題就是經典的線性模型，這裏（lǐ）的線性指的是狀態的排布是呈線（xiàn）性的。

    【例題（tí）1】是一個經典的麵試題（tí），www.17C.com將它作為線性（xìng）模型的敲門磚上（shàng）海模型廠家【例題1】在（zài）一個夜黑風高的（de）晚上，有n（n <= 50）個小朋友在橋的這邊，現在他們需要過橋，但是由於橋（qiáo）很窄，每次隻允許不大於兩人通過，他（tā）們隻有一個手電（diàn）筒，所以每次過橋的兩個人需要把手電筒帶回來，i號小朋友過（guò）橋的時間（jiān）為T[i]，兩個人過橋（qiáo）的總時間為二者中（zhōng）時間（jiān）長者。

    問所有小朋友過橋的總時間最短是多少

    每（měi）次上海模型廠家過橋的時候（hòu）最多兩個（gè）人，如果橋這邊還有人，那麽還得回來一個人（送手電筒（tǒng）），也就是說N個人過橋的次數（shù）為2*N-3（倒推，當橋這邊隻剩兩個人時隻需要一次，三個人的情況為來回一次後加（jiā）上兩個人的情況（kuàng）…）有一個人需要來（lái）回（huí）跑，將手電筒（tǒng）送回來（也許不是同一個人，realy？！）這個回來的（de）時間是沒辦法省去的，並且回來上海模型（xíng）廠家的次數也是確定的，為（wéi）N-2，如果是我，我會選擇讓跑的最快的人來幹（gàn）這件事情，但是我錯了…如果總是跑（pǎo）得最（zuì）快（kuài）的（de）人跑回來的話，那麽（me）他在每次別人過橋的時候一定得跟過去，於是就變成就是很簡單的問題（tí）了，花費（fèi）的總時間：。

    T = minPTime * (N-2) + (totalSum-minPTime)來看一組數據上海模型廠家 四個人過橋（qiáo）花費的時（shí）間分別（bié）為 1 2 5 10，按照上麵的公式答案是19，但是實際答案應該是17具體步驟是（shì）這樣的（de）：。

    第（dì）一步：1和2過去，花費時間2，然後1回來（花費時間1）；第二歩：3和4過去，花費時間10，然後2回來（花費時間2）；第（dì）三部：1和2過（guò）去，花費時間2，總耗時（shí）17所以（yǐ）之前的貪心想法是不對上海模型廠（chǎng）家的www.17C.com先將所有人按花費時間遞增（zēng）進行排序，假設前i個人過河花費的最少時間（jiān）為opt[i]，那麽（me）考慮前i-1個人過河的情況，即河這邊（biān）還有1個（gè）人，河那邊有i-1個人，並且這時候手電筒肯（kěn）定在對岸，所以opt[i] = opt[i-1] + a[1] + a[i] (讓花費時間最少的人把手電筒送過來，然後和第i上海模型廠（chǎng）家個人（rén）一起過河（hé）)如果河這邊還有（yǒu）兩個人，一個是第i號，另外一個無所謂，河那邊有i-2個人，並且（qiě）手電筒肯定在對岸，所以opt[i] = opt[i-2] + a[1] + a[i] + 2*a[2] (讓花費時間最少的人把電筒送過來，然後第i個人和另外（wài）一個人一起過（guò）河，由（yóu）於花費時間最少的人在（zài）這邊，所以下（xià）一次上海模型廠家送手電筒過（guò）來的一定是（shì）花費（fèi）次少（shǎo）的（de），送過來後花費最少的和（hé）花費次（cì）少的一起過河，解決問（wèn）題（tí）)。

    所以 opt[i] = min{opt[i-1] + a[1] + a[i] , opt[i-2] + a[1] + a[i] + 2*a[2] }區間模型區間模型的狀態表示一般為d[i][j]，表示區（qū）間[i, j]上（shàng）海模型廠家上的最優解，然後通過狀態轉（zhuǎn）移計算出[i+1, j]或（huò）者[i, j+1]上的最（zuì）優解，逐步擴大區間的範圍，最終求得[1, len]的（de）最優解。

    【例題2】給定一個長度為（wéi）n（n j-1時也（yě）是有意義的，它代表的（de）是空串，空串也是（shì）一（yī）個回文串，所以這種情況下d[i+1][j-1] = 0）；當A[i] != A[j]上海模型廠家時，www.17C.com將它變成（chéng）更小的（de）子問題求解，www.17C.com有兩種（zhǒng）決策：。

    1、在A[j]後麵添加一個字符A[i]；2、在（zài）A[i]前麵添加一個字符A[j]；根（gēn）據兩種決策列出狀態轉移方（fāng）程為：d[i][j] = min{ d[i+1][j], d[i][j-1] } + 1; (每次狀（zhuàng）態轉移（yí），區間長度增加1)

    空間複雜度O(n^上海模型廠家2)，時間複雜（zá）度O(n^2)， 下文會提到將空間複雜度降為O(n)的優化算法背包（bāo）模型（xíng）背包問題（tí）是動態規劃中一個最典型的問題之一由（yóu）於網上有（yǒu）非常詳盡的背包講解，這裏隻將（jiāng）常用部分抽出來【例題3】

    有（yǒu）N種物品（pǐn）（每種物品1件（jiàn））和一個容量為V的背包（bāo）放（fàng）入第 i 種物品耗費的空間是Ci，得到的價值是（shì）Wi求解將哪些物品裝上（shàng）海模型廠家入背包可使價值總和（hé）最大f[i][v]表示前i種物品恰好放入一個容量為v的背（bèi）包可以獲得的最大價值。

    決策為第i個物品在前i-1個物品放（fàng）置（zhì）完畢後（hòu），是（shì）選擇放還是不放，狀態轉移方程為（wéi）：f[i][v] = max{ f[i-1][v], f[i-1][v – Ci] +Wi }時間複雜度O(VN)，空間複（fù）雜度O上（shàng）海模型廠（chǎng）家(VN) （空間複雜度可利用滾動（dòng）數組進行優化達到O(V) ）。